摘 要:Lagrange中值定理在微分学中占有重要地位。本文利用Rolle定理证明题目的一般步骤,找到证明Lagrange中值定理的一种新方法,打开了构造辅助函数的新思路,为教学提供了一种新思维。
关键词:微分中值定理 Lagrange中值定理 辅助函数 教学
【中图分类号】 O151【文献标识码】 A 【文章编号】1671-8437(2010)02-0006-01
一 引言
微分中值定理是研究函数在区间上从局部性质推断整体性态的有力工具,是高等数学研究的核心内容之一。Lagrange中值定理属于微分学基本定理,在微分学中占有重要地位,它建立起了利用函数的导数来研究函数性态的桥梁。同时Lagrange中值定理也是教学中的一大难点,教师难教,学生难学。
证明Lagrange中值定理的方法有很多种,从实际教学的角度出发,显然以Rolle定理作为预备定理有利于学生掌握三个微分中值定理之间的相互联系,即通过构造辅助函数将Lagrange中值定理的条件转化为Rolle定理的条件。
在部分工科《高等数学》课程的教材中,通常采用的方法是:从Lagrange中值定理的几何特点出发,构造表示有向线段的函数μ(x)为辅助函数。如图1所示,即就是:设直线AB的方程为L(x),则 L(x)=f(x)+(x-a)。
由于点M,N的纵坐标依次为f(x)及L(x),故μ(x)=f(x)-L(x)=f(x)-f(a)-(x-a)。
摘 要:e在微积分中举足轻重,扮演多重角色,论文就e本身出发谈谈它与微积分的联系。
关键词:e 微积分 联系
【中图分类号】 O175.5 【文献标识码】 A 【文章编号】1671-8437(2010)02-0008-01
数e在数学中的作用毫不亚于大名鼎鼎的π,数学家们把 π、e、Φ并列为“三个著名的无理数”。下面我们就来看看e在微积分中是多么地神奇。
1微积分中许多公式都有e的身影
在微积分中,有许多公式,其中有基本极限、重要极限和基本积分。有趣的是,其中到处都有e的身影。通常,微积分学中列出6个基本极限,其中4个含中e,简直就是它的大半壁江山。
(1+)=(1+z)=e;(1+kx)=(1+z)=ek;=1,=1
而重要极限中,下面6个也含有e:
=0(n>0);=∞;x==1;=;=1;[(1+++....+)-lnn]=c=0.577215
在不定积分式中,也有许多涉及e,下面是其中5个积分后含e的公式: =ln+C; =ln+C;audu=+C;tanudu=-lncosu+C;cotudu=lnsinu+C
在幂级数中,有许多充满和谐美的式子,都回归到e:
1+x+++...++...=ex(-∞ x---+...++...=ln(1+x)(-1 -x---...--...=ln(1-x)(-1≤x≤1) 2数e使得微积分轻装上阵 在微积分中,会用较大的篇幅介绍e和(1+)n这个数学中最重要的基本极限之一。不容置疑,这是微积分系统介绍的需要和为了“用”。因为要介绍数列的极限和函数的极限,就必须面临两个最重要的极限:=0和(1+)n=e。我们知道,在微积分中,要牵涉到求导、微分、积分等,就必定会出现一些关于指数、对数的式子,必然涉及底数的问题,因此数学家们都希望选取使得这些式子具有最简洁形式的底数。那么,选什么数作底数好呢?我们来看一个实例,如果y=logbx,那么=logbe。很显然,只有当b=e的时候=才具有最简洁的形式。同时,除1以外的任何数作底(以1作底在代数中是犯规行为)的代数函数,进行微积分运算以后,都会出现以e为底的函数,怪不得数学家们都说:“e在微积分中特别重要。”而dx=lnn则是微积分中的一个重要基本公式。有趣的是,当e作底的时候, (ex)"=ex函数和它的导数相等,而其他任何数作底都不会这样。更有趣的问题是,假设f"(x)=f"(nx) (式子中x>0, n≠0和1),求f(x)最后的答案是f(x)=lnx+C。看来e在这里又鬼使神差地作底了。 4结语 论文通过浅谈e与微积分的联系,让我们知道对微积分做出贡献的所有因素中,e的功劳不可抹灭,熟练应用与熟悉e与微积分的联系,为学习微积分开辟了一条奇径,以小见大,也是数学好玩之处。 参考文献: [1]王勤国. 数e存在性的又一证明【J】.数学通报, 2001. [2]宁挺. 说e【M】.福州:福建教育出版社, 1985. [3]华东师范大学数学系.数学分析【M】.北京:高等教育出版社,1991. [4]吉林师范大学数学系.数学分析讲义【M】.人民教育出版社,1960. [5]曾晓新.数学的魅力【M】.重庆,科学技术文献出版社重庆分社,1990. 作者简介:王兰梓(1984—),女(汉族),四川南充人,硕士研究生,研究方向:微分方程理论与动力系统。因为引入的该辅助函数满足Rolle定理的三个条件,所以可以应用Rolle定理证明Lagrange中值定理。这种证明过程明确了定理简洁明了的几何特点,将构造辅助函数的方法呈现出来。虽然它符合数学发展历史,是教师们通常采用的教学方法,但这个辅助函数μ(x)构造过程巧妙、独特,为教学带来了诸多困惑。教师若照本宣读,不但无法体现该辅助函数的数学之美,也会让学生觉得突兀且不易理解。 二 Lagrange 中值定理证明的新思路与方法 那么,如何才能想到构造有向线段的呢?如果没有想到,如何完成对Lagrange中值定理的证明呢?本文另辟新径,就其证明中引入辅助函数的方法提供一种新的便于教学使用的证明方法。 在学习了Rolle定理后,我们就已经开始大量接触到应用Rolle定理证明的问题。在不断的摸索与研究中,我们总结出了这一类题目的共性,得到证明这一类问题的规律与一般方法。 例如:设函数f(x)在闭区间[0,a]上连续,在开区间(0,a)内可导且f(a)=0。试证:至少存在一点ξ∈(0,a),使得f(ξ)+ξf"(ξ)=0 。 分析:(i).从结论着手,变ξ为x。即f(x)+xf"(x)=0 ; (ii).通过观察分析可知f(x)+xf"(x)的一个原函数是xf(x),也即[xf(x)]"=f(x)+xf"(x)。 根据以上步骤,则可选取函数xf(x)作为辅助函数μ(x),从而利用Rolle定理完成对Lagrange中值定理的证明。 证明:令μ(x)=xf(x)。显然函数μ(x)在闭区间[0,a]上连续,在开区间[0,a]内可导且μ(0)=μ(a)。由Rolle定理可知,至少存在一点ξ∈(0,a)使μ(ξ)=0,即f(ξ)+ξf"(ξ)=0。 通过对此类题目的练习,为学生创造性的证明Lagrange中值定理做好铺垫。 三 Lagrange 中值定理的证明 Lagrange中值定理 如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导。那么,在(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ 分析:首先将定理中的结论整理为f"(ξ)=。 再根据上一节例题分析中的步骤,则有:f"(x)-=0。 因此,可得[f(x)-x]"=f"(x)-, 即可得辅助函数为:μ(x)=f(x)-x。 证明:令μ(x)=f(x)-x。 显然函数μ(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导且μ(a)==μ(b), 函数μ(x)满足Rolle定理的三个条件,因此根据Rolle定理可知:至少存在一点ξ∈(a,b),使μ(ξ)=0。也即f"(ξ)=,定理得证。 四 结束语 本文的证明思路清晰自然、目的明确、步骤简洁,学生容易理解。在此基础上可进一步向学生介绍利用定理的几何特点构造辅助函数来证明Lagrange中值定理的方法。通过使学生从不同角度利用不同方法解决了这个问题,可以大大加强学生对该定理的理解,也可以启发学生用类似的方法完成对Cauchy中值定理的证明,使学生主动思考的能力和学习的积极性得到一定的提高。 教学不是简单的教,创造性的引导学生主动去思考、去学习才是关键。因此教学应以培养和提高学生自身的能力为主要目标,这也对教师提出了更高的要求。 参考文献: [1]赵访熊.高等数学【M】.北京:人民出版社,1981:132-133. [2]同济大学应用数学系,高等数学(第五版)【M】.北京,高等教育出版社,2007:127-130. [3]陈纪修,於崇华,金路.数学分析【M】.北京:高等教育出版社,2001:168-170. [4]徐娟.拉格朗日定理证明中辅助函数的构造【J】.内江科技,2008,第8期:38-40. 作者简介:吕陇(1982—),男,讲师,研究方向:偏微分方程。