摘 要： 导数是高中数学中非常重要的知识点，也是解决函数问题非常重要的一种方法.本文首先指出了学生在导数学习中存在的一些常见误区，然后结合案例分析了错因，最后总结出特殊情况代入检验的方法，学生相对易操作.
关键词： 导数 学习误区 检验
导数是高中数学中非常重要的知识点，也是解决函数问题的一种非常重要的方法.随着新课程的不断深入，导数已从解决问题中的辅助地位上升到分析问题和解决问题必不可少的工具，特别是解决一些复杂的函数问题，有它独到之处.学生在各级各类考试中经常遇到，但在理解上存在一些常见的误区.
误区1：函数单调递增时导数值一定是f′（x）≥0吗？
题1：若函数f（x）=3x +ax在（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围.
导数求解方法：求导得f′（x）=6x+a，等价于6x+a≥0在（1，+∞）上恒成立，变量分离得a≥-6x，故a≥-6.利用导数研究含有参数的单调性问题时，为避免学生漏掉等号取得的情况，如本题中经常会漏掉f′（x）=0的情况，因此教师反复强调的是含参问题时导数值应满足f′（x）≥0.但学生课后问了我这样一道题，让我感觉意外和惊讶.
题2：函数y= 在区间（-2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围.
学生解法1：求导得y′= = ，由y′≥0得a≥ ，标准答案是a> ，错在哪里呢？导数方法中含参问题单调递增要求f′（x）≥0，有问题吗？为了找寻正确答案，而后我和学生一起分别从图像变换角度和单调性定义两个方面分析计算得a> .
解法2：分离系数得y= = =a+ 在（-2，+∞）上单调递增，由反比例函数图像变换得1-2a<0，故a> .
解法3：（定义法）设x ，x 为（-2，+∞）上的任意两个数，且x f（x ）-f（x ）= - = = 由f（x）在（-2，+∞）上为增函数，故f（x ）-f（x ）<0，1-2a<0，故a> . 【分析】通过检验我们发现：当a= 时，y= = 是一个常数函数，不满足严格单调递增，但f′（x）=0恒成立，也就满足f′（x）≥0成立，为此查阅了大学中数学分析的课本. 定理1：若函数f（x）在区间（a，b）内可导，则f（x）在（a，b）内递增（递减）的充要条件为f′（x）≥0 f′（x）≤0，x∈（a，b）. 定理2：若函数f（x）在区间（a，b）内可导，则f（x）在（a，b）内严格递增（递减）的充要条件为 （1）对一切x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0）； （2）在（a，b）内的任何子区间上f′（x）不恒等于0. 定理1中的递增包括了严格单调递增和常数函数两种，运用定理2的充要条件时我们常常忽略了第（2）点常数函数的情形. 误区2：导数为0一定极值点吗？ 熟知的反例有y=x ，在x=0处导数值为0，但这点不是极值点，y′=3x ≥0恒成立，但很多学生遇到具体题目时却经常会忽视考虑这种情况. 题目3：若关于的函数f（X）=- x +bx +cx+bc，若函数f（x）在x=1处有极值- ，求b，c. 学生解法：求导得f′（x）=-x +2bx+c，由f′（1）=0f（1）=- 得c=-1b=1或c=3b=-1. 【分析】学生往往解到这里就完了，但是事实上，经检验：当c=-1，b=1时，f′（x）=-x +2x-1=-（x-1） ≤0恒成立，函数在（-∞，+∞）上单调递减，因此没有极值点，故导数为0不一定是极值点，导数为0是为该点为极值点的必要条件. 误区3：函数不单调等价于导函数方程有解吗？ 题目4：已知函数f（x）=x -3kx在x∈[-1，1]上不单调，求k的取值范围. 学生解法：求导得f′（x）=3x -3k，函数在[-1，1]上不单调，即在[-1，1]上有极值点，则方程3x -3k=0在x∈[-1，1]上有解，转化为求函数k=x ，x∈[-1，1]的值域，则k∈[0，1]. 【分析】这是很多学生的解法，但事实上检验可知：当k=0时，f（x）=x 在x∈[-1，1]为单调递增函数，故k≠0；当k=1时，f（x）=x -3x在x∈[-1，1]为单调递减函数，故k≠1，故k∈（0，1）. 函数在[-1，1]上有极值点等价于导函数方程有解吗？极值点还需满足附近导数符号为异号. 导数是大学微积分的重要内容，虽然高中教材中引入了导数，但很多时候教师只能照本宣科，或拿结论做题，就题论题，这从一定程度上客观造成了学生理解上的缺失.因此，一方面，教师要对教材心领神会，对导数的来龙去脉清清楚楚，要知其所以然.另一方面，在解题过程中要教给学生检验的方法，特殊值可以特殊对待，满不满足代入试试看，这样的方法简单易操作. 参考文献： [1]华东师范大学编.数学分析[M].高等教育出版社. [2]波利亚.怎样解题[M].上海科技教育出版社，1982. [3]单墫.解题研究[M].南京师范大学出版社，2002.